Феликс Берг е роден през 1980 г. в Берлин и започва да се катери на 12-годишна възраст в младежките групи на Германския алпийски съюз (DAV). След завършване на средното си образование през 2000 г., той започва да следва физика в Берлин и предприема първите си големи катерачни пътувания до Перу и Патагония.
На 20-годишна възраст вече е преминал емблематични алпийски линии като Централния пилон на Френи и Западната стена на Пти Дрю в масива Мон Блан. Последват първите му хималайски експедиции – изкачва Ама Даблам (6858 м) и достига до 8300 м по Северната стена на Кангчендзьонга. Между 2002 и 2003 г. Берг прекарва една година в Кения, където учи в Университета в Найроби со стипендия на Германската служба за академичен обмен (DAAD).
През 2004 г., на 23-годишна възраст, изкачва Еверест (8848 м) по Северния ръб. С това става най-младият германец и първият берлинчанин, достигнал върха. По-късно се премества във Фрайбург им Брайсгау, където през 2007 г. завършва математика. Работи в Цюрих като количествен финансов анализатор, а от 2009 г. професионалната му дейност е изцяло свързана с алпинизъм, ръководене на експедиции и Summit Travel GmbH.
В основата на кариерата на Феликс е страстта му към скалното катерене. Той преминава маршрути с трудност до 8b+ redpoint (чисто преминаване след разучаване) и 8a on-sight (от пръв поглед). Особено място в кариерата му заема Източна Африка – Берг живее повече от година в Кения, където разработва над 100 нови линии. Сред маршрутите му там са Югоизточната стена на Маунт Пой (IX-/A1, 750 м) и нов маршрут по Южната стена на Пойнт Джон (4880 м) на масива Кения – VIII+, 300 м.
В Алпите преминава многовъжени маршрути с трудност до IX+/X- (фр. 8a), включително по Северната стена на Айгер. В скалното катерене достига трудност X по UIAA (фр. 8b/8b+). Постиженията му включват и скоростни изкачвания на масива Кения през 2009 г. и в района на Мон Блан през 2011 г.
През февруари 2012 г. претърпява сериозен инцидент след каменопад на Гранд Жорас. След едногодишно възстановяване се завръща към големите планини и през 2013 г. изкачва за втори път Барунце (7129 м), а през лятото на 2014 г. стъпва на първия си осемхилядник в Каракорум – Броуд Пик (8051 м). Последва силна серия от седемхилядници: през 2015 г. изкачва Музтаг Ата, Корженевска и пик Комунизъм (успоредно с катерене на скални линии до 8a on-sight), а през 2017 г. достига върховете Тиличо, Ленин (с клиенти) и Хан Тенгри на един ход.
Голяма цел на Феликс Берг остава Северозападната стена на Анапурна I (8091 м). През 2017 г. той, полският алпинист Адам Биелецки и шотландецът Рик Алън правят опит за нов маршрут в алпийски стил (с аклиматизация на Тиличо), но се оттеглят поради лоши условия. През пролетта на 2023 г. е планиран нов съвместен опит, но в крайна сметка атаката на стената е реализирана само от двамата му полски колеги (Биелецки и Хатала).
През пролетта на 2018 г. Берг ръководи експедиция до Чо Ою и участва в фиксирането на маршрута нагоре, а по-късно същата година прокарва нов вариант по Западната стена на Гашербрум II заедно с Адам Биелецки. През 2021 г. достига за втори път върха на Еверест. През 2022 г. отново изкачва Гашербрум II, а през април 2023 г. осъществява солово изкачване на Манаслу без допълнителен кислород в условия на пълна мъгла.
През есента на 2025 г. постига нов голям успех в техническия алпинизъм. Заедно с Биелецки и Ерве Бармас прокарват премиерния маршрут „Nepali Ice SPA“(ED-) по девствената Южна стена на Нумбур (6958 м) в чист алпийски стил.